0 0, Céfiro, el número que no existía. Los romanos no tenían el número "cero". Era el vacío que expresaban con términos lingüísticos, como non est, en documentos contables o legales; en lugar de cero, escribían nada. Su sistema, aditivo y sustractivo pero no posicional, no requería el cero para funcionar. Sin embargo, esta misma ausencia limitaba la posibilidad de desarrollar cálculos complejos, allanando el camino para la revolución numérica que estaba por llegar.

1 ¿Quién fue Fibonacci? Leonardo Pisano, conocido como Fibonacci (del latín filius Bonacci, hijo de Bonaccio), nació en Pisa alrededor de 1170 y falleció poco después de 1240. Pisa, entonces una república marítima, prosperó gracias al comercio. Las fechas no son precisas, ya que se deducen de documentos sin certificados ni registros específicos disponibles. Su padre era funcionario de aduanas en Bugía, actual Argelia, lo que le permitió entrar en contacto con la cultura y las matemáticas árabes. Escribió varias obras: Liber Abbaci, Practica Geometriae y Liber Quadratorum. Se le considera el matemático más importante de la Edad Media, reconocimiento que le otorgó el emperador Federico II de Suabia y la República de Pisa, quienes le concedieron una renta vitalicia por sus méritos científicos. Esto nos permite aproximar una fecha estimada de su fallecimiento, ya que el acta del Ayuntamiento de Pisa que le concedió la renta data de 1240 y falleció poco después.

1 El Liber Abbaci, el manuscrito que cambió Europa. El Libro de Cálculo es la obra más importante y famosa de Fibonacci. El primer borrador, que data de 1202, se ha perdido; la segunda versión, ampliada, data de 1228 y se conserva en la Biblioteca Nacional Central de Florencia (BNCF). Escrito como un manual práctico con diversas demostraciones y acertijos, el texto transformó las matemáticas en Europa al introducir los números arábigos, el sistema posicional y el cero, facilitando así la multiplicación y la división. Este es el sistema que aún utilizamos hoy en día; la posición del número determina su valor: unidades, decenas, centenas, etc., de derecha a izquierda. Lo que dábamos por sentado desde la escuela primaria, los números romanos lo hicieron prácticamente imposible. Las matemáticas se convirtieron en una herramienta para la actividad comercial y mercantil.

3 Números arábigos. En realidad, eran de origen indio... El sistema decimal posicional, con base diez y el uso del cero, el sistema que usamos hoy en día, se originó en la India entre los siglos VI y VII. Curiosamente, dentro del sistema posicional, también encontramos el sistema del vigésimo, que surgió del hecho de que usando los dedos de las manos y los pies se podía contar hasta veinte, o el sistema de base doce, como los meses del año.

A partir del siglo VIII, los árabes tradujeron textos científicos y matemáticos de la India, importando y perfeccionando los numerales hindúes más el cero. Se desarrollaron dos versiones de estos numerales —una oriental y otra occidental—, y fue esta última la que se incorporó a la tradición europea. Los cristianos europeos entraron en contacto con ellos a través de las rutas comerciales y culturales del islam. Aquí surge un dato curioso: se cree, aunque no está confirmado, que Gerberto fue el primero en intentar, sin éxito, introducir los numerales arábigos en Europa. Nació cristiano y se enamoró de la cultura y la ciencia árabes, de ahí la idea (históricamente infundada) de su conversión al islam. Fue una figura compleja y muy comentada, rodeada de numerosas leyendas; estas no le impidieron convertirse en el papa Silvestre II. Un matemático, como el actual León XIV, llegó a ser papa.

La época de Fibonacci estuvo marcada por grandes tensiones y guerras interreligiosas. Se libraban las Cruzadas y la confrontación militar con el Islam se intensificó, culminando en la Batalla de Lepanto. A pesar de ello, los números se convirtieron en un lenguaje universal que unía culturas y pueblos. Comenzando con los indios (hindúes), pasando por los árabes (musulmanes), llegaron hasta los europeos (cristianos). Esto parece sugerir la existencia de una Divinidad universal. Adelantada a su tiempo, parece ser la idea embrionaria de Jung y Faggin, quienes, partiendo de posiciones completamente diferentes, llegaron a una conclusión muy similar: la Unidad.

5 La sucesión de Fibonacci. Aparece en el capítulo XII como una solución práctica al problema de los conejos. Una pareja de conejos madura cada mes y genera una nueva pareja. Suponiendo que los conejos no mueren (¿somos vegetarianos?), ¿cuántas parejas habrá después de n meses? La respuesta es una sucesión de números en la que cada término es la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, y así sucesivamente. Lo que comenzó como una solución práctica a un problema de crecimiento poblacional se ha convertido en una de las sucesiones más estudiadas y aplicadas a lo largo de los siglos, desde la naturaleza hasta la música, desde el arte hasta las finanzas.

Aquí está el texto original en latín (Liber Abbaci, 1202/1228, Cap. XII):

“Cum posuerit unus homo par unum coniculorum in uno loco, qui par in uno mense generat alium par, et par ille qui natus fuerit in secundo mense generat alium par, similiter et par primus in omni mense generat alium par: quot paria coniculorum ex illo pario fiunt in fine unius anni?”

Y aquí está la traducción al italiano:

Un hombre coloca una pareja de conejos en un lugar determinado. Esta pareja genera otra pareja cada mes, y la pareja recién nacida comienza a generarse a su vez a partir del segundo mes; así, cada pareja, desde el segundo mes de vida en adelante, genera otra pareja cada mes. ¿Cuántas parejas de conejos se formarán en total al final del año?

Esta es la solución al problema de los conejos – Liber Abbaci (Cap. XII)

Considerando la importancia de la Secuencia a lo largo de los siglos siguientes, y las innumerables propiedades y conexiones que hemos identificado, resulta curioso observar que Fibonacci simplemente resolvió un problema muy práctico, sin ninguna implicación. No logró comprender el significado universal de su descubrimiento. Es un poco como Cristóbal Colón, quien descubrió el continente americano creyendo estar en la India; no lo entendió. Curioso.

8 Juegos matemáticos. El capítulo XII del Liber Abbaci contiene no solo el problema del conejo, sino también otros juegos y acertijos matemáticos medievales, diseñados para asombrar y convencer a los lectores de usar los números arábigos, entonces llamados los números de los "infieles". Estos juegos tenían un valor educativo y persuasivo: demostraban lo más sencillo y eficaz que resultaba usar los números arábigos en comparación con los romanos. Hoy diríamos que su utilidad era para la comunicación y el marketing. El debate entre los defensores de los números arábigos y los romanos se prolongó durante varios siglos, y ya conocemos el resultado...

Los principales problemas son:

13 Abaci no es el plural de ábaco. Como se mencionó anteriormente, los números romanos no eran posicionales; carecían del cero, lo que los hacía inadecuados para cálculos complejos. Intenta realizar operaciones aritméticas simples como suma, resta e incluso multiplicación y división con números romanos usando lápiz y papel… Nos divertiremos haciéndolo juntos en nuestras redes sociales; será entretenido. Es una lástima que la ciencia, el comercio y la economía incipientes necesitaran la capacidad de realizar cálculos rápidamente. Para resolver este problema, se utilizó una herramienta, el ábaco, que hizo que las operaciones aritméticas fueran prácticas. Hay dos tipos; el ábaco columnar era el más común. Era esencialmente un rectángulo en el que las columnas proporcionaban una lógica posicional, identificando así las unidades, las decenas y las centenas, mientras que en cada columna había anillos, botones y lapilli que identificaban el número. Funcionaba de manera muy similar al tablero de ajedrez inglés, del cual el ministro responsable de finanzas en el gobierno británico toma el nombre de Canciller del Tesoro. Era adecuado para sumas y restas rápidas, mientras que las multiplicaciones y divisiones eran posibles, pero más lentas, ya que se realizaban mediante sumas o restas repetidas. La introducción de los números arábigos hizo posible realizar cálculos como los que hacemos hoy en día, mucho más sencillos con solo lápiz y papel. Posteriormente, se desarrollaron diversas herramientas para facilitar los cálculos, como las varillas de Napier, las reglas de Genaille y la pascalina, inventada por Blaise Pascal, precursor de las calculadoras de bolsillo modernas.

21 La proporción áurea. φ ≈ 1,618033988...., este número se llama phi, en honor a Fidias, el escultor griego. La secuencia de Fibonacci es a la proporción áurea lo que los ladrillos son a una casa; he aquí por qué:

Donde la Sección Áurea surge como un límite para n, el número de elementos, que tiende a infinito de la razón entre dos Secuencias de Fibonacci, de las cuales la del numerador tiene un elemento más (por esta razón devuelve un número mayor que uno).

La relación entre la secuencia del numerador y la del denominador puede interpretarse como la relación entre lo perfecto y lo imperfecto, entre lo divino y lo humano. La humanidad se acerca cada vez más a lo divino, sin llegar a alcanzarlo por completo, en una constante búsqueda de mejora, desarrollo y crecimiento, incluso crecimiento interior. Nos esforzamos por alcanzar la perfección y casi la rozamos, pero nunca la logramos. Esta constante búsqueda de una perfección imposible, que la humanidad ha perseguido a lo largo de los siglos, se manifiesta en muchos aspectos de la naturaleza humana. En economía, los modelos no logran abarcarlo todo porque siempre falta una ecuación. En la masonería, la búsqueda de la Palabra Sagrada es constante, pero permanece desconocida, lo que simboliza la imposibilidad de alcanzar la perfección, lo divino. La Sección Áurea no es solo un número, sino un mensaje, presente en todas partes de la naturaleza y dondequiera que haya armonía. Es un símbolo universal que conecta las matemáticas, la naturaleza, el arte y la espiritualidad, como veremos a continuación.

34 La secuencia de Fibonacci y la proporción áurea en la naturaleza. Muchas plantas disponen sus hojas, pétalos o semillas siguiendo un patrón que reproduce la secuencia de Fibonacci, a menudo para optimizar el espacio y los recursos. En los girasoles, las semillas se disponen en espiral, con dos familias de espirales que suelen tener números consecutivos en la secuencia (34 y 55, o 55 y 89). En la col romana, su estructura fractal sigue las espirales de Fibonacci interconectadas. Cabe mencionar que las matemáticas fractales son relativamente recientes; desde 1975, se estudian figuras geométricas, llamadas fractales, caracterizadas por la autosimilitud y la estructura fina. Un fractal es un objeto cuya forma o estructura se repite infinitamente a escalas cada vez menores, manteniendo las mismas características geométricas en cualquier nivel de detalle. Este principio da lugar a formas muy irregulares y fragmentadas que no pueden describirse con la geometría euclidiana tradicional. Las margaritas que todos hemos hojeado para el juego "me quiere, no me quiere" suelen tener un número de pétalos que pertenecen a la secuencia 21, 34, 55 u 89, así que, ¿que nuestro ser amado correspondiera o no a nuestros sentimientos dependía de Fibonacci...?

Además, la espiral creada con la proporción áurea está presente en la naturaleza en la concha del nautilo y en la forma de las galaxias.

Los conejos se multiplican según las predicciones de Fibonacci; basta con pasar unas horas en el precioso Parque Urbano de Forlì para comprobarlo...

55 La secuencia de Fibonacci y la proporción áurea en la arquitectura. Todo lo que vemos construido según las reglas de la proporción áurea, tendemos a percibirlo como bello. Un ejemplo paradigmático, aunque inadvertidamente —ya que los griegos lo desconocían—, es el Partenón de Atenas, que data del siglo V a. C., cuya fachada y columnas están construidas según la proporción áurea.

Fueron Luca Paioli, autor del libro De Divina Proportione en 1509, y Leonardo da Vinci quienes estudiaron la proporción áurea y la aplicaron a la pintura y la arquitectura.

Más recientemente, Le Corbusier, el famoso arquitecto, estudió la proporción y desarrolló el Modulor.

La proporción áurea constituye, por lo tanto, un puente entre las matemáticas y la estética.

89 La secuencia de Fibonacci y las finanzas. La secuencia de Fibonacci es ampliamente utilizada en el análisis técnico por los operadores en los mercados financieros cotizados, con los llamados retrocesos de Fibonacci.

Son una herramienta que utiliza líneas horizontales para identificar áreas donde el precio de un valor puede encontrar soporte o resistencia. Este es un tema altamente técnico que será objeto de un artículo específico.

144 Alquimia y esoterismo. Como se señaló anteriormente, el propio Fibonacci no atribuyó ningún significado oculto a sus números. Las interpretaciones alquímicas y esotéricas surgieron siglos después, cuando la scientia numerorum fue reinterpretada a la luz del hermetismo, la cábala y la "filosofía natural". La fuerza de la secuencia reside en su neutralidad matemática: precisamente porque es objetiva, se convierte en una pantalla ideal para proyectar y acoger diferentes visiones espirituales. Sin embargo, ciertas propiedades de la Sección Áurea han estimulado la sensibilidad de muchos eruditos. El fraile franciscano y matemático Luca Pacioli, en su tratado De Divina Proportione, describe la proporción áurea (φ) como "divina" debido a sus propiedades matemáticas y su perfección armoniosa, atribuyéndole estas características místicas: es una y trina porque refleja la Trinidad cristiana: una, infinita e indivisible; es armonía universal porque une la parte y el todo en perfecto equilibrio; Es irracional porque, aunque es bien conocido, no puede ser capturado, un símbolo de la infinitud divina.

233 Concluyamos por ahora. El Liber Abbaci de Fibonacci ya no es solo un manuscrito, ni un simple manual de demostraciones prácticas. Es un puente entre el pasado y el futuro, entre los manuscritos medievales y la investigación científica contemporánea. Es una obra que ha unido diversas culturas, desde la India hasta Europa, pasando por el mundo árabe, utilizando el lenguaje universal de las matemáticas. Es un símbolo de armonía, cooperación, tolerancia y diálogo. Es, aún más, un objeto sagrado, una reliquia, y su Sucesión es un poderoso símbolo, un testimonio de lo divino, presente dondequiera que haya armonía.

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0 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181,…