0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765
y
1,61803398874989484820458683436563811772030917980576...
¿Qué son estos números y por qué son tan importantes e interconectados? Paso a paso…
Secuencia de Fibonacci y proporción áurea
Publicado por
Antiquus
¿Qué es la secuencia de Fibonacci?
Gracias en parte a la película El Código Da Vinci, la secuencia de Fibonacci se ha convertido en una de las secuencias numéricas más famosas y reconocibles del mundo, envuelta en un encanto particular, a caballo entre el rigor matemático y el simbolismo.
No es descabellado pensar que alguien aún podría estar usándola como contraseña, y no solo para abrir una caja de seguridad en un banco suizo...
Fibonacci lo introdujo en el Liber Abbaci a través de un famoso problema, casi un ejercicio de ingenio, destinado a ilustrar el crecimiento de una población de conejos a partir de una pareja inicial. 😊
A lo largo de los siglos, esta secuencia ha revelado propiedades sorprendentes, demostrando una extraordinaria capacidad para describir e interpretar numerosos fenómenos naturales, como ya hemos mencionado en artículos anteriores.
Por el momento, nos limitaremos a recordar su ley fundamental: se construye a partir de números naturales, y cada término subsiguiente viene dado por la suma de los dos anteriores.
¿Qué es la sección áurea?
Es un número irracional indicado por la letra griega φ (phi), que se obtiene cuando un segmento se divide en dos partes de tal manera que:
parte principal : parte secundaria = todo : parte principal
En fórmula:
(a+b)/a = a/b = φ
La proporción áurea es una proporción particular entre dos cantidades. Imagina un segmento dividido en dos partes:
una parte larga: a
una parte corta: b
La división es “óptima” cuando se mantiene esta relación:
(a + b) / a = a / b
¿Qué significa?:
La razón entre el segmento completo y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la parte menor.
Imagen tomada del sitio web infinitoteatrodelcosmo.it
Visualmente, tomemos un rectángulo como ejemplo.
Imagina un rectángulo ligeramente más largo que alto. Si el lado largo mide 1,618 veces el lado corto, tienes un rectángulo áureo.
Desde este rectángulo puedes:
- quitar un cuadrado
- obtener un rectángulo más pequeño con la misma proporción
- repetir el proceso
Si unes las esquinas con una curva, obtienes una espiral similar a la que se suele mostrar en los dibujos de la proporción áurea.
Imagen tomada del sitio web infinitoteatrodelcosmo.it
Así es como el público en general conoce la proporción áurea; es un número irracional, veremos más adelante por qué es importante subrayar esto,
Intentemos hacer algunos cálculos matemáticos…
Comencemos con la definición de la sección áurea:
con a>b>0.
Llamemos a esta razón común x:
Entonces podemos reescribir el primer miembro:
pero desde
Por lo tanto:
Ahora multipliquemos todo por x:
o:
Esta es una ecuación cuadrática. Apliquemos la fórmula de solución:
Por lo tanto, las dos soluciones son:
Pero la proporción de longitudes positivas debe ser positiva, por lo que descartamos la segunda solución, que es negativa.
Restos:
Valor numérico
φ≈1,618033988…
Hagamos una prueba rápida, como si estuviéramos escribiendo un examen de matemáticas...
Si
Entonces también satisface la propiedad fundamental:
φ^2=φ+1
En efecto:
y
Así que coincide… Examen aprobado 😊
La conexión entre la secuencia de Fibonacci y la proporción áurea.
La fórmula de conexión estricta es:
Dónde
La proporción áurea es el límite, cuando n tiende a infinito, de la razón entre dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, en la que el término n+1 aparece en el numerador y el término n en el denominador. Precisamente por ello, esta razón tiende a un número mayor que uno, es decir, a la divina proporción.
Pero, ¿esta relación es solo matemática o también puede interpretarse en un sentido simbólico?
¿Los términos de la secuencia son solo números o pueden aludir a algo más?
¿Y ese límite que tiende al infinito es solo un procedimiento matemático, o puede también evocar simbólicamente la tensión natural del hombre hacia la mejora, hacia el crecimiento, hacia una plenitud que nunca se puede alcanzar por completo?
Nuestras respuestas —y decimos deliberadamente que son nuestras— salen aquí del ámbito estrictamente matemático para adentrarse en el de la armonía: esa armonía que, casi tres siglos después de Fibonacci, inspiraría a un autor que exploraremos en breve.
Desde esta perspectiva, uno podría tal vez ver:
- en el término colocado en el numerador una imagen de la Divinidad, como cada religión desee entenderla;
- en el denominador, una imagen del hombre, siempre marcada por una carencia, por una medida incompleta con respecto a la plenitud de lo divino.
La relación se convertiría entonces en una figura de diálogo: ese diálogo que muchos hombres mantienen con la Divinidad, a través de ritos, ceremonias, oraciones o introspección.
Avanzando aún más en el tiempo, llegamos a Fra' Luca Pacioli, el gran intérprete renacentista de la proporción áurea, así como quien desarrolló sistemáticamente la contabilidad por partida doble, destinada a convertirse en la base de la contabilidad moderna.
Luca Pacioli
“SI TE DOMINAS BIEN TODAS LAS ARTES, ENCONTRARÁS LA PROPORCIÓN DE QUE TODAS SEAN MADRE Y REINA, Y SIN ELLA NINGUNA PUEDE EJERCERSE”
Luca Pacioli, De Divina Proportione, 1509
Unos siglos después de Fibonacci, fue Fra’ Luca Pacioli quien dio a conocer al público culto las propiedades intrínsecas de la proporción áurea, plasmándolas en su famoso tratado De Divina Proportione.
En el capítulo V, Pacioli declara que quiere exponer cuatro propiedades “necesarias”, a las que luego añade una quinta idoneidad: en total, por lo tanto, cinco propiedades fundamentales.
1. Unidad
La proporción áurea es una en su esencia: no se divide en diferentes especies, sino que permanece idéntica a sí misma. Por esta razón, Pacioli la asocia con la idea de la unidad perfecta.
2. Trinidad
Aunque se trata de una sola entidad, se manifiesta a través de tres términos: el todo, la mayor parte y la menor parte. En esta estructura ternaria, Pacioli reconoce un reflejo simbólico de la Trinidad.
3. Irracionalidad
La proporción áurea no puede expresarse con precisión mediante una fracción numérica, puesto que es irracional. Para Pacioli, esta inconmensurabilidad evoca algo que escapa a la plena comprensión racional del ser humano.
4. Inmutabilidad
Permanece constante e invariable en sus relaciones: no cambia con las variaciones de las figuras en las que se manifiesta. En este sentido, Pacioli la considera un signo de una estabilidad superior.
5. Virtud generativa y cósmica
Finalmente, para Pacioli, la proporción áurea tiene una función constructiva: influye en el orden de los cuerpos regulares y en la belleza de la estructura geométrica del mundo. No es solo una medida, sino también un principio de formación.
Para Luca Pacioli, la proporción áurea es «divina» no solo por su elegancia matemática, sino también por la riqueza de sus correspondencias simbólicas. Es una, pero se manifiesta en tres términos; es irracional y, por lo tanto, está exenta de una reducción numérica completa; su ley interna es inmutable; y, finalmente, ejerce una función generativa en el orden de los cuerpos geométricos. Así, la proporción áurea se convierte, en el pensamiento de Pacioli, en un punto de encuentro entre las matemáticas, la metafísica y la armonía de la creación.
Luca Pacioli
“SI TE DOMINAS BIEN TODAS LAS ARTES, ENCONTRARÁS LA PROPORCIÓN DE QUE TODAS SEAN MADRE Y REINA, Y SIN ELLA NINGUNA PUEDE EJERCERSE”
Luca Pacioli, De Divina Proportione, 1509
Unos siglos después de Fibonacci, fue Fra’ Luca Pacioli quien dio a conocer al público culto las propiedades intrínsecas de la proporción áurea, plasmándolas en su famoso tratado De Divina Proportione.
En el capítulo V, Pacioli declara que quiere exponer cuatro propiedades “necesarias”, a las que luego añade una quinta idoneidad: en total, por lo tanto, cinco propiedades fundamentales.
1. Unidad
La proporción áurea es una en su esencia: no se divide en diferentes especies, sino que permanece idéntica a sí misma. Por esta razón, Pacioli la asocia con la idea de la unidad perfecta.
2. Trinidad
Aunque se trata de una sola entidad, se manifiesta a través de tres términos: el todo, la mayor parte y la menor parte. En esta estructura ternaria, Pacioli reconoce un reflejo simbólico de la Trinidad.
3. Irracionalidad
La proporción áurea no puede expresarse con precisión mediante una fracción numérica, puesto que es irracional. Para Pacioli, esta inconmensurabilidad evoca algo que escapa a la plena comprensión racional del ser humano.
4. Inmutabilidad
Permanece constante e invariable en sus relaciones: no cambia con las variaciones de las figuras en las que se manifiesta. En este sentido, Pacioli la considera un signo de una estabilidad superior.
5. Virtud generativa y cósmica
Finalmente, para Pacioli, la proporción áurea tiene una función constructiva: influye en el orden de los cuerpos regulares y en la belleza de la estructura geométrica del mundo. No es solo una medida, sino también un principio de formación.
Para Luca Pacioli, la proporción áurea es «divina» no solo por su elegancia matemática, sino también por la riqueza de sus correspondencias simbólicas. Es una, pero se manifiesta en tres términos; es irracional y, por lo tanto, está exenta de una reducción numérica completa; su ley interna es inmutable; y, finalmente, ejerce una función generativa en el orden de los cuerpos geométricos. Así, la proporción áurea se convierte, en el pensamiento de Pacioli, en un punto de encuentro entre las matemáticas, la metafísica y la armonía de la creación.
Conclusiones
La sucesión de Fibonacci y la proporción áurea están unidas por un vínculo profundo, de modo que la primera puede considerarse el desarrollo numérico de lo que la segunda logra como una forma perfecta de proporción. No se trata, por lo tanto, de una simple yuxtaposición entre una serie de números y una fórmula geométrica, sino de la manifestación de la misma ley en dos registros diferentes: uno aritmético y otro proporcional.
Dado que la razón entre términos consecutivos de la secuencia converge progresivamente hacia
𝜑
El crecimiento aritmético de los números de Fibonacci encuentra su plenitud en el equilibrio de la proporción divina. En este sentido, la sucesión no es simplemente una progresión construida mediante la suma, sino más bien el camino ordenado a través del cual el número parece orientarse hacia una medida superior, hacia una forma de plenitud que ya no pertenece únicamente al ámbito del cálculo, sino al de la armonía.
Así, lo que inicialmente se presenta como una serie de sumas sucesivas se transforma, en su límite, en una ley de armonía: Fibonacci representa el devenir de los números, la proporción áurea su quietud proporcional. Uno muestra movimiento, el otro medición; uno expresa crecimiento, el otro la forma perfecta hacia la que tiende dicho crecimiento. Por esta razón, su conexión ha perdurado a lo largo de los siglos, fascinando no solo a matemáticos y geómetras, sino también a filósofos, artistas y mentes inclinadas a reconocer en los números un entramado más profundo que la propia realidad.
Comenzamos con un par de conejos, un problema aparentemente simple y casi lúdico, para adentrarnos en las matemáticas de los números; de ahí pasamos a la geometría de la forma, y desde ahí podemos continuar nuestro viaje hacia la estética y la metafísica de la proporción. Este es precisamente uno de los rasgos más llamativos del legado de Fibonacci: a partir de una regla numérica básica, se abre un vasto horizonte, en el que el cálculo se convierte en contemplación y la medición puede interpretarse como un signo de un orden más profundo.
En este sentido, y casi como una extensión natural de la discusión, cabe recordar que la figura de Fibonacci no solo forma parte de la historia de las matemáticas, sino que sigue despertando interés cultural, coleccionable y simbólico en la actualidad. Precisamente por ello, ponemos a la venta documentos y un facsímil de un manuscrito dedicado a él: testimonios que permiten no solo el estudio de su obra, sino también la preservación física de su fascinación y memoria.
Precisamente por ello, tenemos a la venta tarjetas y un facsímil del manuscrito de Fibonacci, diseñados para quienes desean no solo leer esta tradición, sino también preservar su presencia concreta y valiosa.
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