0 0, Zefiro, il numero che non esisteva. I romani non avevano il numero “zero”. Era il vuoto che esprimevano con termini linguistici, ad esempio non est, nei documenti contabili o giuridici, al posto di zero si scriveva nulla. Il loro sistema, additivo e sottrattivo ma non posizionale, non richiedeva lo zero per funzionare. Tuttavia, proprio questa assenza limitava la possibilità di sviluppare calcoli complessi, aprendo la strada alla rivoluzione numerica che stava per arrivare

1 Chi era Fibonacci? Leonardo Pisano detto Fibonacci (da filius Bonacci, figlio di Bonaccio), nacque a Pisa intorno al 1170 e morì poco dopo il 1240. Pisa, allora repubblica marinara, prosperava grazie ai commerci. Le date non sono precise perché vengono desunte da documenti senza aver disponibili certificati o registri specifici. Il padre era un funzionario doganale in Bugia, l’attuale Algeria, questo gli permise di venire in contratto con la cultura e la matematica araba. Scrisse diverse opere: Liber Abbaci, Practica Geometriae, Liber Quadratorum. E’ considerato il più grande matematico del medioevo e questo gli fu riconosciuto dall’Imperatore Federico II di Svevia e dalla Repubblica Pisana, che gli riconobbe un vitalizio per i suoi meriti scientifici. Questo permette di approssimare una data presunta di morte perché l’atto del Comune di Pisa che gli assegna il vitalizio è del 1240 e morì poco dopo.

1 Liber Abbaci, il manoscritto che cambiò l’Europa. Il libro del calcolo è l’opera più importante e celebre di Fibonacci. La prima stesura del 1202 è andata perduta, la seconda versione, ampliata, risale al 1228 ed è conservata presso la Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze (BNCF). Scritto come manuale pratico contenente diverse dimostrazioni ed indovinelli, il testo cambiò la matematica in Europa introducendo i numeri arabi, il sistema posizionale e lo zero, permettendo di eseguire agevolmente moltiplicazioni e divisioni. È il sistema che usiamo tuttora, la posizione del numero determina il suo valore: unità, decine, centinaia, ecc da destra a sinistra. Quello che noi diamo per scontato fin dalla scuola elementare i numeri romani lo rendevano praticamente impossibile. La matematica diventa uno strumento per l’attività commerciale e mercantile.

3 I numeri arabi. In realtà erano indiani... ll sistema decimale posizionale, con base dieci e l’uso dello zero, cioè il sistema che utilizziamo noi attualmente, nacque in India tra il VI e il VII secolo. È interessante notare che, nell’ambito del sistema posizionale, troviamo anche il sistema ventesimale, nacque dal fatto che utilizzando le dita delle mani e dei piedi si poteva contare fino a venti, oppure il sistema in base dodici, come i mesi dell’anno.

A partire dall’VIII secolo i testi scientifici e matematici indiani furono tradotti dagli arabi, che importarono e perfezionarono le cifre hindù più lo zero. Si svilupparono due versioni delle cifre – orientale e occidentale – e furono proprio queste ultime a entrare nella tradizione europea. I cristiani europei ne vennero in contatto attraverso le vie commerciali e culturali dell’Islam. Qui apriamo una curiosità. Si pensa, ma non è confermato, che fu Gerberto il primo che provò, senza successo, ad introdurre i numeri arabi in Europa. Egli nacque cristiano, si innamorò della cultura e della scienza araba, da qui l’idea (infondata storicamente) di una sua conversione all’Islam. Fu una figura molto discussa e complessa, con molte leggende che nacquero sul suo conto; queste, non gli impedirono di diventare Papa con il nome di Silvestro II. Un matematico, come l’attuale Leone XIV, diventò Papa.

Il periodo in cui visse Fibonacci era di grandi tensioni e guerre interreligiose, si stavano combattendo le Crociate ed il confronto militare con l’Islam crebbe fino a raggiungere il suo culmine con la battaglia di Lepanto. Nonostante questo, i numeri diventano un linguaggio universale che unisce le culture ed i popoli. Partendo dagli indiani (induisti), attraverso gli arabi (islamici) giungono agli europei (cristiani). Questo sembra suggerire l’esistenza di una Divinità universale. In anticipo di un millennio sembra l’embrione del pensiero di Jung e di Faggin, che partendo da posizioni completamente diverse, giungono ad una conclusione molto simile, l‘Uno.

5 La successione di Fibonacci. Compare, nel capitolo XII, come soluzione pratica al problema dei conigli. Una coppia di conigli ogni mese matura e genera una nuova coppia. Nell’ipotesi che i conigli non muoiano ( siamo vegetariani ?) quante coppie ci saranno dopo n mesi? La risposta è una sequenza di numeri in cui ciascun termine è la somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, e così via. Quella che nacque come soluzione pratica a un problema di crescita demografica è diventata nei secoli una delle sequenze più studiate e applicate, dalla natura alla musica, dall’arte alla finanza.

Ecco il testo latino originale (Liber Abbaci, 1202/1228, Cap. XII):

“Cum posuerit unus homo par unum coniculorum in uno loco, qui par in uno mense generat alium par, et par ille qui natus fuerit in secundo mense generat alium par, similiter et par primus in omni mense generat alium par: quot paria coniculorum ex illo pario fiunt in fine unius anni?”

E qui la traduzione italiana:

“Un uomo colloca una coppia di conigli in un luogo. Questa coppia ogni mese genera un’altra coppia, e la coppia nata comincia a generare a sua volta a partire dal secondo mese; così ogni coppia, dal secondo mese della sua vita in poi, genera un’altra coppia ogni mese. Quante coppie di conigli si formeranno in tutto alla fine di un anno?

Questa è la soluzione al problema dei conigli – Liber Abbaci (Cap. XII)

Pensando all’importanza che la Successione ha avuto nel corso dei secoli successivi, alle innumerevoli proprietà e collegamenti che abbiamo individuato, è divertente osservare che Fibonacci si era limitato a risolvere un problema molto pratico, senza nessuna implicazione. Non colse la portata universale della sua scoperta. È un po’ come Cristoforo Colombo che scoprì il continente americano convinto di essere in India, non aveva capito. Divertente.

8 Giochi matematici. Il capitolo XII del Liber Abbaci non contiene solo il problema dei conigli, ma anche altri giochi ed enigmi matematici del Medioevo, pensati per stupire e convincere i lettori a usare i numeri arabi, all’epoca chiamati i numeri “degli infedeli”. Questi giochi avevano un valore pedagogico e persuasivo: mostravano quanto fosse più semplice e potente usare i numeri arabi rispetto ai romani. Oggi diremmo per comunicazione & marketing. La diatriba tra i propugnatori dei numeri arabi ed i propugnatori dei numeri romani andò avanti per diversi secoli, ne conosciamo l’esito…

I problemi principali sono:

13 Abaci non è il plurale di Abaco. Come scritto prima i numeri romani non erano posizionali, erano privi dello zero, non adatti ad effettuare calcoli complessi. Provate ad effettuare le semplici operazioni aritmetiche di somma, sottrazione ed addirittura moltiplicazione e divisione con i numeri romani utilizzando carta e penna… Ci divertiremo a farlo insieme sui nostri canali social, sarà buffo e divertente. Peccato che la scienza, il commercio, l’economia nascenti avessero bisogno di poter fare calcoli rapidamente. Per risolvere questo problema si utilizzava uno strumento, l’abaco, che rendeva pratiche le operazioni aritmetiche. Ne esistono di due tipi, quello a colonna era il più diffuso. Era sostanzialmente un rettangolo in cui le colonne davano una logica posizionale, per cui identificavano unità decine centinaia mentre in ogni colonna c’erano degli anelli, bottoni, lapilli che identificavano il numero. Aveva un funzionamento molto simile allo scacchiere inglese, dal quale il ministro che si occupa delle finanze nel governo britannico prende il nome di Cancelliere dello Scacchiere. Era adatto per fare velocemente somme e sottrazioni, mentre moltiplicazioni e divisioni erano possibili, ma in maniera più lenta perché effettuate come somme o sottrazioni ripetute. L’introduzione dei numeri arabi rese possibile il calcolo come lo effettuiamo ora, in maniera molto più semplice solamente con carta e penna. Dopo di che nacquero diversi strumenti per la facilitazione del calcolo, ad esempio i Bastoni di Nepero, i Regoli di Genaille, passando per la Pascalina, inventata da Blaise Pascal, l’antesignana delle moderne calcolatrici tascabili.

21 La Sezione Aurea. φ ≈ 1,618033988...., questo numero è chiamato phi, in onore di Fidia, lo scultore greco. La Successione di Fibonacci sta alla Sezione Aurea come i mattoni stanno alla casa, ecco perché:

Dove la Sezione Aurea nasce come limite per n, numero di elementi, che tende all’infinito del rapporto tra due Successioni di Fibonacci, di cui quella al numeratore ha un elemento in più (per questo motivo ritorna un numero maggiore di uno).

Il rapporto fra la Successione al numeratore e quella al denominatore si può vedere anche come il rapporto tra il perfetto e l’imperfetto, tra il Divino e l’Umano. L’uomo si avvicina sempre più al divino, senza mai raggiungerlo pienamente, in una continua tensione verso il miglioramento, lo sviluppo, la crescita, anche interiore. Noi tendiamo alla perfezione e quasi la tocchiamo, tuttavia senza mai raggiungerla. Questo sforzo continuo verso la perfezione impossibile, che l’uomo persegue nei secoli trova riscontro in tante situazioni della natura umana. In economia i modelli non riescono a gestire tutto perché manca sempre un’equazione. In Massoneria la ricerca della parola Sacra è costante, ma questa resta sconosciuta, a significare l’impossibilità di raggiungere la perfezione, il divino. La Sezione Aurea non è solo un numero, ma è un messaggio, presente ovunque nella natura e dove ci sia armonia. È simbolo universale che collega matematica, natura, arte e spiritualità, come vedremo adesso.

34 La Successione di Fibonacci e la Sezione Aurea in natura. Molte piante dispongono foglie, petali o semi secondo uno schema che segue la Successione di Fibonacci, spesso per ottimizzare lo spazio e le risorse. Nei girasoli i semi sono disposti a spirale, con due famiglie di spirali che spesso hanno numeri della successione consecutivi (34 e 55, oppure 55 e 89). Nel cavolo romano la sua struttura frattale segue le spirali legate e Fibonacci. Un piccolo inciso, la matematica frattale è piuttosto recente, dal 1975 studia le figure geometriche, dette frattali, caratterizzate da auto similarità e struttura fine. Un frattale è un oggetto la cui forma o struttura si ripete all'infinito su scale di ingrandimento sempre più piccole, mantenendo le stesse caratteristiche geometriche a qualsiasi livello di dettaglio. Questo principio, porta a forme altamente irregolari e frammentate che non possono essere descritte con la geometria euclidea tradizionale. Le margherite, che tutti hanno sfogliato per il gioco “m’ama non m’ama” hanno comunemente un numero di petali che appartiene alla successione, 21, 34, 55 oppure 89, per cui se la nostra amata ricambiava il nostro sentimento o meno dipendeva da Fibonacci…?

Altresì, la spirale creata con la sezione aurea è presente in natura nella conchiglia del Nautilus e nella forma delle galassie

I conigli si moltiplicano secondo le previsioni di Fibonacci, basta passare qualche ora nel bel Parco Urbano di Forlì per rendersene conto…

55 La Successione di Fibonacci e la Sezione Aurea in architettura. Tutto quello che noi vediamo costruito seguendo le regole della Sezione Aurea tendiamo a percepirlo come bello. Un primo involontario esempio - perché i greci non la conoscevano – è nel Partenone di Atene, risalente al V sec AC, in cui facciata e colonne sono costruite secondo le proporzioni auree.

Furono Luca Paioli, l’autore del libro De Divina Proportione nel 1509, e Leonardo da Vinci a studiare la sezione aurea e ad applicarla a pittura ed architettura.

Più recentemente Le Corbusier, il famoso architetto, studiò la proporzione e sviluppò il Modulor.

La Sezione Aurea è quindi un ponte fra matematica ed estetica.

89 La Successione di Fibonacci e la finanza. La successione di Fibonacci è utilizzata moltissimo nell’analisi tecnica, da chi fa attività di trader su mercati finanziari quotati, con i cosiddetti Ritracciamenti di Fibonacci.

Sono uno strumento che utilizza delle linee orizzontali per individuare delle aree in cui il prezzo di un titolo può trovare un supporto oppure una resistenza. È un argomento molto tecnico che sarà oggetto di un articolo specifico dedicato.

144 Alchimia ed esoterismo. Come già scritto Fibonacci stesso non attribuì alcun senso occulto ai suoi numeri. Le interpretazioni alchemiche ed esoteriche sorgono secoli dopo, quando la scientia numerorum viene riletta alla luce di ermetismo, cabala e “filosofia naturale”. La forza della successione sta nella neutralità matematica: proprio perché oggettiva, diventa schermo ideale per proiettare ed accogliere visioni spirituali diverse. Tuttavia, alcune proprietà della Sezione Aurea hanno stimolato la sensibilità di molti studiosi. Il frate francescano e matematico Luca Pacioli, con il trattato De Divina Proportione descrive la proporzione aurea (φ), come “divina” per le sue proprietà matematiche e la sua perfezione armonica, attribuendole questi caratteri mistici: è una e trina perché riflesso della Trinità cristiana: uno, infinito e indivisibile; è armonia universale perché lega parte e tutto in perfetto equilibrio; è irrazionale perché pur ben conosciuta non si lascia catturare, simbolo dell’infinito divino.

233 Concludiamo, per ora. Il Liber Abbaci di Fibonacci non è più solo un libro manoscritto, non è più solo un manuale di dimostrazioni pratiche. È ponte tra passato e futuro, tra i manoscritti medievali e la ricerca scientifica contemporanea. È un’opera che ha unito culture diverse, dall’India all’Europa, passando per il mondo arabo, usando il linguaggio universale della matematica. È un simbolo di armonia, di cooperazione, di tolleranza, di dialogo. È, ancora di più, un oggetto sacro, una reliquia e la sua Successione è un simbolo potentissimo, una testimonianza del divino, che ritroviamo ovunque ci sia Armonia.

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0 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181,…