0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765

e

1,61803398874989484820458683436563811772030917980576...

Cosa sono questi numeri e perché sono così importanti e legati fra loro? Step by Step…

Cos’è la Successione di Fibonacci?

Anche grazie al film Il codice Da Vinci, la successione di Fibonacci è divenuta una delle sequenze numeriche più celebri e riconoscibili al mondo, avvolta da un fascino particolare, in bilico fra rigore matematico e immaginario simbolico.

Non è escluso che qualcuno la utilizzi ancora come password, e non soltanto per aprire una cassetta di sicurezza in una banca elvetica…

Fibonacci la introdusse nel Liber Abbaci attraverso un celebre problema, quasi un esercizio di ingegno, volto a illustrare la crescita di una popolazione di conigli a partire da una coppia iniziale. 😊

Nel corso dei secoli, questa successione ha rivelato proprietà sorprendenti, mostrando una straordinaria capacità di descrivere e interpretare numerosi fenomeni naturali, come abbiamo già ricordato negli articoli precedenti.

Qui, per il momento, ci limitiamo a richiamarne la legge fondamentale: essa è costruita a partire da numeri naturali, e ciascun termine successivo è dato dalla somma dei due che lo precedono.

Cos’è Sezione Aurea

E’ un numero irrazionale indicato con la lettera greca φ (phi), si ottiene quando un segmento è diviso in due parti in modo tale che:
parte maggiore : parte minore = intero : parte maggiore
In formula:

(a+b)/a = a/b = φ

La sezione aurea è una proporzione particolare tra due grandezze.
Immagina un segmento diviso in due parti:

una parte lunga: a
una parte corta: b

La divisione è “aurea” quando vale questa relazione:

(a + b) / a = a / b

Cioè:

il rapporto tra il segmento intero e la parte maggiore
è uguale al rapporto tra la parte maggiore e la parte minore

Immagine presa dal sito infinitoteatrodelcosmo.it

Visivamente, prendiamo ad esempio un rettangolo

Immagina un rettangolo un po’ più lungo che alto. Se il lato lungo misura 1,618 volte il lato corto, hai un rettangolo aureo.

Da questo rettangolo puoi:

• togliere un quadrato
• ottenere un rettangolo più piccolo con la stessa proporzione
• ripetere il processo

Se unisci gli angoli con una curva, ottieni una spirale simile a quella spesso mostrata nei disegni sulla sezione aurea.

Immagine presa dal sito infinitoteatrodelcosmo.it

Questo è il modo in cui la sezione aurea è conosciuta dal grande pubblico; è un numero irrazionale, scopriremo nel seguito perché è importante sottolinearlo,

Proviamo con un po’ di matematica…

Partiamo dalla definizione di sezione aurea:

con a>b>0.

Chiamiamo questo rapporto comune x:

Allora possiamo riscrivere il primo membro:

ma siccome

quindi:

Ora moltiplichiamo tutto per x:

ossia:

Questa è un’equazione di secondo grado. Applichiamo la formula risolutiva:

quindi le due soluzioni sono:

Ma il rapporto tra lunghezze positive deve essere positivo, dunque scartiamo la seconda soluzione, che è negativa.

Resta:

Valore numerico

φ≈1,618033988…

Proviamo una rapida verifica, come se scrivessimo un compito di matematica…

Se

allora soddisfa anche la proprietà fondamentale:

φ^2=φ+1

Infatti:

e

quindi coincide… Esame superato 😊

Il collegamento tra la Successione di Fibonacci e la Sezione Aurea

La formula del collegamento in forma rigorosa è:

dove

La sezione aurea è il limite, per n che tende all’infinito, del rapporto fra due termini consecutivi della successione di Fibonacci, in cui al numeratore compare il termine n+1e al denominatore il termine n. Proprio per questo tale rapporto tende a un numero maggiore di uno, cioè alla divina proporzione.

Ma questo rapporto è soltanto un rapporto matematico, oppure può essere letto anche in senso simbolico?
E i termini della successione sono soltanto numeri, oppure possono alludere a qualcosa di ulteriore?

E quel limite che tende all’infinito è soltanto un procedimento matematico, oppure può anche evocare simbolicamente la naturale tensione dell’uomo verso il miglioramento, verso la crescita, verso un compimento che non si lascia mai possedere del tutto?

Le nostre risposte — e diciamo volutamente nostre — escono qui dal dominio strettamente matematico per entrare in quello dell’armonia: quell’armonia che, quasi tre secoli dopo Fibonacci, avrebbe ispirato un autore al quale ci accosteremo fra poco.

In questa prospettiva, si potrebbe forse vedere:

• nel termine posto al numeratore un’immagine della Divinità, comunque ciascuna religione voglia intenderla;
• nel termine al denominatore un’immagine dell’uomo, sempre segnato da una mancanza, da una misura incompiuta rispetto alla pienezza del divino.

Il rapporto diverrebbe allora figura di un dialogo: quel dialogo che molti uomini intrattengono con la Divinità, attraverso riti, funzioni, preghiera o interiorità.

Procedendo oltre nei secoli, giungiamo così a Fra’ Luca Pacioli, il grande interprete rinascimentale della divina proporzione, nonché colui che diede forma sistematica alla partita doppia, destinata a divenire il fondamento della contabilità moderna.

Luca Pacioli

“SE TU BEN DISCORRI IN TUTTE LE ARTI TU TROVERAI LA PROPORTIONE DE TUTTE ESSER MADRE E REGINA E SENZA LEI NIUNA POTERSE EXERCITARE”

Luca Pacioli, De Divina Proportione, 1509

Alcuni secoli dopo Fibonacci, fu Fra’ Luca Pacioli a portare all’attenzione del pubblico colto le proprietà intrinseche della sezione aurea, consacrandola nel suo celebre trattato De Divina Proportione.

Nel capitolo V, Pacioli dichiara di voler esporre quattro proprietà “a sufficientia”, alle quali aggiunge poi una quinta convenienza: nel complesso, dunque, cinque proprietà fondamentali.

1. Unità

La divina proporzione è una nella sua essenza: non si divide in specie differenti, ma permane identica a sé stessa. Per questo Pacioli la accosta all’idea dell’unità perfetta.

2. Trinità

Pur essendo una, essa si manifesta attraverso tre termini: il tutto, la parte maggiore e la parte minore. In questa struttura ternaria Pacioli riconosce un riflesso simbolico della Trinità.

3. Irrazionalità

La divina proporzione non può essere espressa esattamente mediante una frazione numerica, poiché è irrazionale. Per Pacioli tale incommensurabilità richiama ciò che eccede la piena comprensione razionale dell’uomo.

4. Immutabilità

Essa resta costante e invariabile nelle sue relazioni: non muta al mutare delle figure nelle quali si manifesta. In questo senso, Pacioli la considera segno di una stabilità superiore.

5. Virtù generativa e cosmica

Infine, la proporzione divina possiede, per Pacioli, una funzione costruttiva: interviene nell’ordine dei corpi regolari e nella bellezza della struttura geometrica del mondo. Non è soltanto misura, ma anche principio di formazione.

Per Luca Pacioli, dunque, la sezione aurea è “divina” non soltanto per la sua eleganza matematica, ma anche per la ricchezza delle sue corrispondenze simboliche. Essa è una, e tuttavia si manifesta in tre termini; è irrazionale, e quindi sottratta alla piena riduzione numerica; è immutabile nella sua legge interna; ed esercita infine una funzione generativa nell’ordine dei corpi geometrici. In tal modo, la proporzione aurea diviene, nel pensiero pacioliano, punto d’incontro fra matematica, metafisica e armonia del creato.

Luca Pacioli

“SE TU BEN DISCORRI IN TUTTE LE ARTI TU TROVERAI LA PROPORTIONE DE TUTTE ESSER MADRE E REGINA E SENZA LEI NIUNA POTERSE EXERCITARE”

Luca Pacioli, De Divina Proportione, 1509

Alcuni secoli dopo Fibonacci, fu Fra’ Luca Pacioli a portare all’attenzione del pubblico colto le proprietà intrinseche della sezione aurea, consacrandola nel suo celebre trattato De Divina Proportione.

Nel capitolo V, Pacioli dichiara di voler esporre quattro proprietà “a sufficientia”, alle quali aggiunge poi una quinta convenienza: nel complesso, dunque, cinque proprietà fondamentali.

1. Unità

La divina proporzione è una nella sua essenza: non si divide in specie differenti, ma permane identica a sé stessa. Per questo Pacioli la accosta all’idea dell’unità perfetta.

2. Trinità

Pur essendo una, essa si manifesta attraverso tre termini: il tutto, la parte maggiore e la parte minore. In questa struttura ternaria Pacioli riconosce un riflesso simbolico della Trinità.

3. Irrazionalità

La divina proporzione non può essere espressa esattamente mediante una frazione numerica, poiché è irrazionale. Per Pacioli tale incommensurabilità richiama ciò che eccede la piena comprensione razionale dell’uomo.

4. Immutabilità

Essa resta costante e invariabile nelle sue relazioni: non muta al mutare delle figure nelle quali si manifesta. In questo senso, Pacioli la considera segno di una stabilità superiore.

5. Virtù generativa e cosmica

Infine, la proporzione divina possiede, per Pacioli, una funzione costruttiva: interviene nell’ordine dei corpi regolari e nella bellezza della struttura geometrica del mondo. Non è soltanto misura, ma anche principio di formazione.

Per Luca Pacioli, dunque, la sezione aurea è “divina” non soltanto per la sua eleganza matematica, ma anche per la ricchezza delle sue corrispondenze simboliche. Essa è una, e tuttavia si manifesta in tre termini; è irrazionale, e quindi sottratta alla piena riduzione numerica; è immutabile nella sua legge interna; ed esercita infine una funzione generativa nell’ordine dei corpi geometrici. In tal modo, la proporzione aurea diviene, nel pensiero pacioliano, punto d’incontro fra matematica, metafisica e armonia del creato.

Conclusioni

La successione di Fibonacci e la sezione aurea sono unite da un vincolo profondo, per cui la prima può essere considerata il dispiegarsi numerico di ciò che la seconda compie come forma perfetta della proporzione. Non si tratta, dunque, di un semplice accostamento fra una serie di numeri e una formula geometrica, ma della manifestazione di una medesima legge in due registri differenti: l’uno aritmetico, l’altro proporzionale.

Poiché il rapporto fra termini consecutivi della successione converge progressivamente verso

𝜑

la crescita aritmetica dei numeri fibonacciani trova il proprio compimento nell’equilibrio della divina proporzione. In questo senso, la successione non è soltanto una progressione costruita per addizione, ma il cammino ordinato attraverso cui il numero sembra orientarsi verso una misura più alta, verso una forma di compiutezza che non appartiene più soltanto al dominio del calcolo, bensì a quello dell’armonia.

Così, ciò che inizialmente si offre come serie di somme successive si trasfigura, al suo limite, in una legge di armonia: Fibonacci rappresenta il divenire del numero, la sezione aurea la sua quiete proporzionale. L’una mostra il movimento, l’altra la misura; l’una esprime la crescita, l’altra la forma perfetta verso cui tale crescita tende. Per questa ragione il loro legame ha attraversato i secoli, affascinando non soltanto matematici e geometri, ma anche filosofi, artisti e spiriti inclini a riconoscere nel numero una trama più segreta del reale.

Siamo partiti da una coppia di conigli, cioè da un problema apparentemente semplice e quasi giocoso, per entrare nella matematica del numero; da qui siamo giunti alla geometria della forma, e da questa possiamo continuare il nostro viaggio verso l’estetica e la metafisica della proporzione. È proprio questo uno dei tratti più sorprendenti dell’eredità di Fibonacci: da una regola numerica essenziale si apre un orizzonte amplissimo, nel quale il calcolo diventa contemplazione, e la misura si lascia leggere come segno di un ordine più profondo.

A margine di questo percorso, e quasi come naturale estensione del discorso, vale la pena ricordare che la figura di Fibonacci non appartiene soltanto alla storia della matematica, ma continua ancora oggi a suscitare interesse culturale, collezionistico e simbolico. Proprio per questo abbiamo in vendita carte e il manoscritto in facsimile a lui dedicato: testimonianze che consentono non solo di studiarne l’opera, ma anche di custodirne materialmente il fascino e la memoria.

Proprio per questo abbiamo in vendita carte e il facsimile del manoscritto di Fibonacci, pensati per chi desideri non soltanto leggere questa tradizione, ma anche conservarne una presenza concreta e preziosa.